Question

极限函数中limβ→0时(1+β)^1/β=e,为什么得e而不是其他数字????

证明y=a^x,导数问题。
　　Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)
　　Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx
　　如果直接令Δx→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：Δx=loga(1+β)。
　　所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
　　显然，当Δx→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。
　　把这个结果代入limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna。
　　可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x

中间在limβ→0时(1+β)^1/β=e,百思不得其姐啊！

Answer 1

1、我们是将这个极限最终所趋向的那个数称为e ，也就是取名为e，而不是它趋向于e；

 

2、楼主上面的推导过程，为什么不一步到位取自然对数呢？为什么先取a为底的对数，

      再迂回到将a为底的对数转化为自然对数，为什么这样？是你自己的解法？还是你

      的老师给的方法呢？如果是老师给的，那问题就严重了。因为e^x跟lnx的出现，使

      得微积分很多运算成为可能，使得复变函数、三角函数、求导、积分、、、变得

      极为简单，如果你的老师仍然是喜欢常用对数，说明他的微积分功底很成问题。这

      就如同一个教师热衷于角度制，而不是本能的喜欢弧度制，那他的微积分一定学得

      一塌糊涂。

 

3、下面的图片说明e的来源与e的特点：

 

 

 

 

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