Question

已知ABCD均为正数,a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd 求证a=b=c=d

Answer 1

因为a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd 所以a^4+b^4-2a^2b^2+c^4+d^4-2c^2d^2+2a^2b^2+2c^2d^2-4abcd=0
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2 +2(ab-cd)^2=0
因为(a^2-b^2)^2≥0, （c^2-d^2)^2 ≥0, 2(ab-cd)^2≥0
所以a^2-b^2=0， c^2-d^2=0， ab-cd=0
所以（a+b）(a-b)=0, (c+d)(c-d)=0, ab=cd
因为已知a、b、c、d均为正数
所以a=b, c=d a^2=c^2
所以a=b=c=d

Answer 2

a^4+b^4大于等于2a^2b^2
c^4+d^4大于等于2c^2d^2
2a^2b^2+2c^2d^2大于等于4abcd
a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
故a=b c=d
同理a=c b=d
a=b=c=d