Question

已知三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,tanA+tanB+√3=√3tanA·tanB

①求角C②若c＝6,a＋b＝4√3,求三角形ABC的面积

Answer 1

原式两边同乘以cosAcosB，得：

sinAcosB+cosAsinB+√3cosAcosB=√3sinAsinB

sin(A+B)=-√3cos(A+B)

tan(A+B)=-√3

或：

tanA+tanB=√3(tanA·tanB-1)

tan(A+B)=-(tanA+tanB)/(1-tanA·tanB)=-√3

A+B=120

C=60

作图如下, 由勾股定理：

3a²/4+(4√3-3a/2)²=6²

3a²-12√3a+48=36

a²-4√3a+4=0

S=(4√3-a)(√3a/2)/2

  =(-√3/4)(a²-4√3a)

  =√3

Answer 2

①tanA+tanB+√3=√3*tanAtanB
tanA+tanB=√3*(tanAtanB-1)
所以tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=-√3
即tan(π-C)=-√3，所以tanC=√3
而0<C<π，所以C=π/3
②余弦定理：c²=a²+b²-2ab*cosC，所以36=a²+b²-ab
而a+b=4√3，所以(a+b)²=48，即a²+b²+2ab=48
联立两式，解得：a²+b²=40，ab=4
所以S△ABC=1/2*ab*sinC=1/2*4*√3/2=√3

Answer 3

解：由tanA+tanB+√3=√3tanA·tanB得：tanA+tanB=-√3(1-tanA·tanB)，
即：(tanA+tanB)/(1-tanA·tanB)=-√3，所以：tan(A+B)=-√3，tanC=√3,C=60°
由余弦定理得：a^2+b^2-ab=c^2=36,由a＋b＝4√3得：a^2+b^2+2ab=48
所以：3ab=48-36=12，故：三角形ABC的面积=4sin60°/4=√3