Question

是否存在这样的实数a，使函数f(x)=x^2+(3a–2)x+a–1在区间【1，3】上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点

是否存在这样的实数a，使函数f(x)=x^2+(3a–2)x+a–1在区间【1，3】上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

楼上，思路正确，但必须证明f(x)在区间[1,3]上与x轴恒有且只有一个交点，才能使此方法

是否存在这样的实数a，使函数f(x)=x^2+(3a–2)x+a–1在区间【1，3】上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由.

解析：∵函数f(x)=x^2+(3a–2)x+a–1
f(x)=x^2+3ax–2x+a–1= x^2-2x-1+(3x+1)a
令3x+1=0==>x=-1/3，此时f(-1/3)=(-1/3)^2-2(-1/3)-1=-2/9
∴函数f(x)的图像无论a为何值，必过定点(-1/3,-2/9)
∴f(x)=x^2+(3a–2)x+a–1=0一个解<-1/3，另一解>-1/3
∴函数f(x)=x^2+(3a–2)x+a–1在区间(-1/3,+∞)上与x轴恒有且只有一个交点

∵f(x)在区间[1,3]上与x轴恒有且只有一个交点
f(1)=1+(3a–2)+a–1=4a-2=0==>a=1/2
f(3)=9+(3a–2)3+a–1=10a+2=0==>a=-1/5
∴实数a的取值范围为[-1/5,1/2]

Answer 2

原命题等价于f(1)*f(3)小于等于0，然后解一个关于a的二次方程就好了

追问

怎么做

知道了，谢谢你了

很简单耶

追答

不客气