Question

是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x^2+（3a-2）x+a-1在区间[-1,3]上恒有一个零点,且只有一个零点.若存在...

是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x^2+（3a-2）x+a-1在区间[-1,3]上恒有一个零点,且只有一个零点.若存在,求出范围；若不存在,说明理由.
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Answer 1

f(-1)=1-3a+2+a-1=2-2a=2(1-a)
f(3)=9+9a-6+a-1=2+10a=1(1+5a)
若f(-1)f(3)<0, 则(-1,3)上有且只有一个根
此时a>1 或a<-1/5
再考虑端点a=1时，f(x)=x^2+x=x(x+1),有2根0, -1,不符
a=-1/5时，f(x)=x^2-13x/5-6/5=(x-3)(x+2/5)，有2根3， -2/5不符
所以存在这样的实数a，其范围是a>1或a<=-1/5

Answer 2

因为(3a-2)^2-4(a-1)>0,所以若实数a满足条件，则只需f(-1)f(3)<=0即可。f(-1)f(3)=(1-3a+2+a-1)(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)<=0.所以a<=-1/5或a>=1.检验:（1）当f(-1)=0时，a=1所以f(x)=0时,x有两根，故a=1错误。（2）当f(3)=0时，a=-1/5,此时f(x)=0时，x有两根，故a=-1/5错误。综上所述，a<-1/5或a>1.

Answer 3

德玛西亚