Question

已知数列{an},{bn}满足an=(1/2)^bn，在线等！！！

已知数列{an},{bn}满足an=(1/2)^bn
(1)若数列｛bn｝是等差数列，求证｛an｝是等比数列；
（2）若数列｛an｝的前n项和为Sn=1-(1/2)^n
①设对于任意数的正整数n,恒有
(1/an)>k([1+1/（2b1-1）]*[1+1/(2b2-1)]*[1+1/(2b3-1)]*……*[1+1/（2bn-1)]
成立，试求实数k的取值范围。
②若数列｛cn｝满足cn=(根号2)*bn+1,问数列｛cn｝中是否存在不同的三项成等比数列？如果存在，请求出这三项；如果不存在，请说明理由。
谢了

Answer 1

1，设 bn=b1+(n-1)*d,则a1=(1/2)^b1（不等于0）则an=(1/2)^(b1+(n-1)d)（不等于0） , 则an /an-1=(1/2)^d( 不等于0的定值）得证。

2，a1=s1=1/2 an=sn-sn-1=(1/2)^n 则bn=n，那么上式等于2 ^n>k*2*4*6....*2n/(1*3*5...(2n-1), 可化为k<1*3*5...(2n-1)/n! 要使k恒成立则k<1*3*5...(2n-1)/n!(min) 设dn=1*3*5...(2n-1)/n! 则dn/dn-1=(2n-1)/n 当n为正整数时为递增数列，d1为最小则k<d1=1
3,假设成立设3项为ck，cm，cq，则cm^2=cq*ck,则有（√￣2*m+1)^2=(√￣2*k+1)*(√￣2*q+1) 化简有√￣2=（k+q-2m）/(m^2-k*q)当m k q为正整数时不成立，所以不存在

追问

可以传张图吗？

追答

数列还用传图？大概看吧，我手写的你肯定看不懂。

追问

我是算到bn=n然后就不会了

追答

后面要化简下，化简出来就是我那个式子，1+1/(2bn-1)=2n/(2n-1), 可以把那个2提出来和右边的2^n约掉（左边是n项相乘n个2相乘）