Question

初中数学题目解答，急急急！

如图①，∠MON=60°，OQ平分∠MON，点A,B在OQ上，OB=AB，AC⊥ON于点C，P是OM上一动点.

（1）在图②中，若AP∥ON，试说明PB⊥OA.

（2）点P在OM上运动时，若AP与ON不平行，还有使△OPA为等腰三角形的情况吗？如果有，求出此时∠PAO的度数.

（3）在图①中随着点P的运动，PB+PA是否存在最小值？如果不存在，直接下结论；如果存在，画出图形，简要写出画法.

认真解答，谢谢 ~！
左边图①，右边图②。

Answer 1

答：

1）

因为：OQ是∠MON的平分线

所以：∠MOQ=∠NOQ

因为：AP//ON

所以：∠NOQ=∠PAO

所以：∠PAO=∠MOQ=∠POA

所以：△PAO是等腰三角形

因为：BO=AB

所以：PB是等腰三角形底边AO上的中垂线

所以：PB⊥OA

2）

∠NOQ=∠PAO=∠MON/2=60°/2=30°

当∠PAO=∠OPA=(180°-30°)/2=75°时△PAO是等腰三角形

当∠POA=∠OPA=30°时△PAO是等腰三角形，此时∠PAO=180°-30°-30°=120°

所以：存在点P使得PA不平行NO，并且使得△PAO是等腰三角形

所以：∠PAO=75°或者120°

3）存在点P使得PB+PA有最小值

画法：

过点O作OG⊥ON

因为：∠NOQ=∠MOQ=∠MOG=30°

所以：OM是∠MOG的平分线

作点A关于OM的对称点A‘在OG上

连接A'B交OM于点P

则点P即为所求点，使得PB+PA有最小值A'B

追问

OM是∠MOG的平分线？

应该是∠QOG的吧。

追答

对的，应该是∠QOG，不小心弄错了，sorry