Question

(2012浙江高考数学)17.设a∈R,若x>0时均有[(a-1)x-1]( x 2-ax-1)≥0,则a

老师说可以用导数解决这个问题，请问怎么做？

导数我已经求好了
f`(x)=3(a-1)x^2-2a(a-1)x+1=0

Answer 1

方法一：
令h(x)=f(x)*g(x)是三次函数。设其三根为x1,x2,x3.
根据三次函数的性质。若三次项前的系数是负的则总有x取一个大于a值后总是小于0.
若退化为二次函数 则f(x)=-1 h(x)=-x^2+ax+1显然不合题意。
所以a-1>0 a>1
对三次函数有性质A：不妨设x1>=x2>x3 当x>=x1时h(x)>=0 当 x2<=x<=x1时h(x)<=0 当x3<=x<=x2时 h(x)>=0 当x<=x3时，h(x)<=0
令h(x)=f(x)*g(x)=0可求得其三根。
x1=1/(a-1)>0 g(x)=x^2-ax-1=0 解得其根为x2=(a+根号(a^2+4))/2 x3=(a-根号(a^2+4))/2
因为a>1 所以x2>0 x3<0, 也就是说h(x)有二个根是>0的。
不管a取>1的任意值。
根据性质A有:不管a取>1的任意值，x在x1 和x2之间取值总是小于0的。
为此，则要使得x1=x2
就是1/(a-1)=(a+根号（a^2+4))/2 由这个式子可求得a.
2/(a-1)-a=根号(a^2+4)
(2-a^2+a)/(a-1)=根号(a^2+4)
((2-a^2+a)/(a-1))^2=a^2+4
(a^2-a-2)^2=(a^2+4)(a^2-2a+1)
a^4-a^3-2a^2-a^3+a^2+2a-2a^2+2a+4=a^4-2a^3+a^2+4a^2-8a+4
-3a^2+4a+4=5a^2-8a+4
8a^2-12a=0
任意的x 属于正实数

2a^2-3a=0
a(2a-3)=0
a=3/2

方法二：
要使f(x)g(x)>=0
则要使f(x)>=0且g(x)>=0 或f(x)<=0 且g(x)<=0 对于第二种情况显然是不可能的。
只需考虑第一种情况。

最后就是解不等式组：
f(x)>=0 g(x)>=0
任意的x 属于正实数都有f(x）*g(x)大于等于0
因此对x>0
f(x)>=0 得(a-1)x-1>=0 得x>=1/(a-1)>=0 得(a-1)>0 a>1
对x>0 g(x)>=0 得x^2-ax-1>=0
最后可解得a=3/2 【解答完毕】

同学你好，如果问题已解决，记得右上角采纳哦~~~您的采纳是对我的肯定~谢谢哦

追问

那请问怎样用导数解决？