等腰三角形ABC中,AC=BC=根号5,AB=2,D为AB的中点,E,F分别为BC,AC边上的点,且EF=1,向量DE*DF<=25/16,
2个回答
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连CD,AC=BC=√5，D为AB的中点，
∴CD⊥AB,
AB=2，∴AD=1,CD=2.
以DB,DC为x,y轴建立直角坐标系，则B(1，0),A(-1，0),C(0，2),
BC:x+y/2=1,设E(e,2-2e),
AC:-x+y/2=1,设F(f,2+2f),-1<f<0<e<1,
由EF=1得(e-f)^2+(2e+2f)^2=1,整理得5e^2+6ef+5f^2=1,
e^2+f^2>=-2ef,∴1>=-4ef>0,-1/4<=ef<0,
向量DE*DF=ef+(2-2e)(2+2f)=4-4e+4f-3ef<=25/16,
∴2（e-f)>=(4-25/16-3ef)/2=39/32-(3/2)ef
向量BA*EF=(-2,0)*(f-e,2f+2e)=2(e-f),
无法求出它的取值范围，可以肯定BA*EF>39/32.
条件：DE*DF<=25/16，似乎应改为DE*DF=25/16.
∴CD⊥AB,
AB=2，∴AD=1,CD=2.
以DB,DC为x,y轴建立直角坐标系，则B(1，0),A(-1，0),C(0，2),
BC:x+y/2=1,设E(e,2-2e),
AC:-x+y/2=1,设F(f,2+2f),-1<f<0<e<1,
由EF=1得(e-f)^2+(2e+2f)^2=1,整理得5e^2+6ef+5f^2=1,
e^2+f^2>=-2ef,∴1>=-4ef>0,-1/4<=ef<0,
向量DE*DF=ef+(2-2e)(2+2f)=4-4e+4f-3ef<=25/16,
∴2（e-f)>=(4-25/16-3ef)/2=39/32-(3/2)ef
向量BA*EF=(-2,0)*(f-e,2f+2e)=2(e-f),
无法求出它的取值范围，可以肯定BA*EF>39/32.
条件：DE*DF<=25/16，似乎应改为DE*DF=25/16.
追问
E,F 未做说明，按理应该可以取端点，即 ef 可以取 0. EF为中位线时，最大值为2。
追答
EF=1，不能为0.
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