Question

已知二次函数y=1/2x²-x+m的图像经过点A（-3，6），并与x轴交于B,C两点（点B

（1）求抛物线的解析式；（2）设点D为线段OC上的一点，且满足∠DPC=∠BAC，求点D的坐标；（3）在y轴上是否存在点M，使△PCM为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由（要详细的过程，谢谢）

Answer 1

二次函数y=1/2x^2-x+m的图像经过点A（-3，6） 得m = -3/2 所以解析式：y = 1/2x^2 - x - 3/2 得：B(-1 ,0) ，C(3 ,0) ,P(1 ,-2) 线段AC的斜率:K(AC)=(0-6)/(3+3) = -1 线段PC的斜率:K(PC)=(0+2)/(3-1)=1 线段PB的斜率:K(PB)=(0+2)/(-1-1)=-1 所以K(AC)·K(PC) = -1 = K(PC)·K(PA) 即PC⊥AC ，PC⊥PB ，PB//AC 易证PB = PC 故△BPC是以P为顶点的等腰直角三角形 所以∠PCB=45°=∠ACB 在△ABC中 ，由正弦定理 ，BC/sin∠BAC = AB/sin∠ACB 得：sin∠BAC = 1/√5 所以（sin∠BAC）^2 = 1/5 设D(t ,0) ,DP^2 = (t -1)^2 + 4 ,CD = 3 -t ,∠PCB = 45° 在△PCD中利用正弦定理可得：（sin∠DPC）^2 = (3 -t)^2/[2(t -1)^2 + 8] 当∠DPC = ∠BAC时 则（sinBAC）^2 = sinDPC）^2 = (3 -t)^2/[2(t -1)^2 + 8] = 1/5 解方程得：t = 7 或 5/3 因D在OC上 ，故t∈（0 ，3）， 所以t = 5/3 故D（5/3 ，0），K(AD) = (6-0)/(-3 - 5/3) = -9/7 ， 所以AD的解析式为y=(9x+15)/7 3.