Question

已知函数f(x)=ax^2+bx-lnx,a,b∈R (1)当a=b=1时，求函数y=f(x)的

象在(1，f(1))处的切线方程
(2)若a＜0且b=2-a,试讨论f(x)的单调性
(3)若对任意的b∈[-2，-1]，均存在x∈(1，e)使得函数y=f(x)图象上的点落在{1＜x＜e y＜0}所表示的平面区域内，求实数a的取值范围

Answer 1

⑴当a=b=1时,f(x)=x^2+x-lnx,则f(1)=2，对函数求导,f(x)′=2x+1-1/x，则,f(1)′=2，则切线方程为y=2x.
⑵当a＜0且b=2-a时，f(x)=ax^2+(2-a)x-lnx,对函数求导,f(x)′=2ax+2-a-1/x,令f(x)′=0
也就是2ax²+(2-a)x-1=0,得X=1/2或-1/a,则分为三种情况，①-2＜a＜0,画出导函数的图像，得f(x)在（0，1/2）、（-1/a，∞）单调递减（因为导函数的值是小于零的），在[1/2，-1/a]单调递增。②当a=0，画出导函数的图像，得f(x)在（0，∞）单调递减。③a＜-2，画出导函数的图像，得f(x)在（0，-1/a）、（1/2，∞）单调递减，在[-1/a，1/2-1/a]单调递增。
⑶对任意的b∈[-2，-1]，均存在x∈(1，e)使得函数y=f(x)图象上的点落在{1＜x＜e y＜0}所表示的平面区域内，说明对于任意b∈[-2，-1]时，不存在x∈(1，e)，使得f(x)＜0成立为假命题，即f(x)≥0恒成立为假命题，当f(x)≥0恒成立时，f(x)的最小值≥0，