Question

已知数列{an}的前n项和为Sn且满足3Sn-4an=2n-4，n∈N*．（1）证明：当n≥2时，an=4an-1-2；（2）求数列{a

已知数列{an}的前n项和为Sn且满足3Sn-4an=2n-4，n∈N*．（1）证明：当n≥2时，an=4an-1-2；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设cn=anan+1Tn为数列{cn}的前n项和，证明：Tn＜2n+18．

Answer 1

（1）3S_n-4a_n=2n-4，①
得当n≥2时，3S_n-1-4a_n-1=2（n-1）-4   ②
①-②得，3（S_n-S_n-1）-4a_n+4a_n-1=2?-a_n+4a_n-1=2?a_n=4a_n-1-2；

（2）∵当n≥2时，a_n=4a_n-1-2；?a_n-

2

3

=4（a_n-1-

2

3

）；?{a_n-

2

3

}是以a₁-

2

3

为首项4为公比的等比数列．
又3S₁-4a₁=2-4?a₁=2?a₁-

2

3

=

4

3

∴a_n-

2

3

=

4

3

?4^n-1?a_n=

2

3

+

4

3

?4^n-1=

4n+2

3

．

（3）∵c_n=

an

an+1

=

4n+2

4n+1+2

＜

4n+ 2

4n+1

=

1

4

+

2

4n+1

当n=1时，T₁=

a1

a2

=

1

3

＜

3

8

n≥2时，T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n＜

a1

a2

+

n?1

4

+2（

1

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