Question

已知数列an的前n项和为Sn且满足Sn=4an-an+1

已知数列an的前n项和为Sn且满足Sn=4an-an+1

Answer 1

n=1时，a1=S1=4a1-a2
a2=3a1=3
n≥2时，Sn=4an-a(n+1)
S(n+1)=4a(n+1)-a(n+2)
a(n+1)=S(n+1)-Sn=4a(n+1)-a(n+2)-4an+a(n+1)
[a(n+2)-2a(n+1)]/[a(n+1)-2an]=2，为定值
a2-2a1=3-2=1，数列{a(n+1)-2an}是以1为首项，2为公比的等比数列
a(n+1)-2an=1·2ⁿ⁻¹=2ⁿ⁻¹
a(n+1)/2ⁿ⁺¹-an/2ⁿ= ¼，为定值
a1/2=½，数列{an/2ⁿ}是以½为首项，¼为公差的等差数列
an/2ⁿ=½+¼(n-1)
an=(n+1)·2ⁿ⁻²
数列{an}的通项公式为an=(n+1)·2ⁿ⁻²