Question

（本小题满分12分）已知函数y= f (x)在定义域（—1+∞）内满足 f (o)=0，且f ／ (x)= ，( f ／ (x))是

（本小题满分12分）已知函数y= f (x)在定义域（—1+∞）内满足 f (o)=0，且f ／ (x)= ，( f ／ (x))是 f (x)的导数）（Ⅰ）求 f (x)的表达式.（Ⅱ）当a=1时，讨论 f (x)的单调性（Ⅲ）设 h (x)=（e x —P） 2 ＋（x－P） 2 ，证明： h (x)≥

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Answer 1

（Ⅰ） f (x)＝ln(1+x)—ax. （Ⅱ） f (x)在（－1，0）上单调增，在（0，＋∞）上单调减； （Ⅲ）h(x)＝（e x －P） 2 ＋（P－x） 2 ≥ 。

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。 （1）利用函数y= f (x)在定义域（—1+∞）内满足 f (o)=0，且f ／ (x)= ,可以得到函数的解析式。 （2）根据a=1，分析 f (x)= ln(1+x)—x.  (x＞－1) ，求解导数，然后令导数大于零或者小于零得到单调区间，进而得结论。 （3）根据由（Ⅱ）知 f (x)≤ f (0)＝0在（－1，＋∞）内恒成立 ∴ln (1＋x) ≤x ∴e x ≥1＋x  e x －x≥1   ∴（e x －x） 2 ≥1，从而证明不等式。 （Ⅰ）由 f ／ (x)＝ .可得 f (x)=ln(1+x)—ax+b，b为实常数.又 f (0)＝0 b＝0. f (x)＝ln(1+x)—ax. （Ⅱ）当a=1时， f (x)= ln(1+x)—x.  (x＞－1) f ／ (x)＝ 　　　∵x＞－1 由 f ／ (x)＝0 x＝0 ∴当x∈（－1，0]时 f ／ (x)≥0，此时 f (x)递增 当x∈（0，＋∞）时， f ／ (x)＜０，此时 f (x)递减 即 f (x)在（－1，0）上单调增，在（0，＋∞）上单调减…………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知 f (x)≤ f (0)＝0在（－1，＋∞）内恒成立 ∴ln (1＋x) ≤x ∴e x ≥1＋x  e x －x≥1   ∴（e x －x） 2 ≥1 ∴≤ ≤（e x －P） 2 ＋（P－x） 2 即h(x)＝（e x －P） 2 ＋（P－x） 2 ≥ …………………………12分