Question

已知递增数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，4Sn-4n+1=an2．设bn=1anan+1，n∈N*，且数列{bn}的前n项和

已知递增数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，4Sn-4n+1=an2．设bn=1anan+1，n∈N*，且数列{bn}的前n项和为Tn．（1）求证：数列{an}为等差数列；（2）试求所有的正整数m，使得am2+am+12?am+22amam+1为整数；（3）若对任意的n∈N*，不等式λTn＜n+18（-1）n+1恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

解答：（1）证明：由4Sn?4n+1＝an2，
得4Sn?1?4(n?1)+1＝an?12(n≥2)，…（2分）
所以4an?4＝an2?an?12(n≥2)，
即an2?4an+4＝an?12，即(an?2)2＝an?12（n≥2），
所以a_n-2=a_n-1（n≥2）或a_n-2=-a_n-1（n≥2），
即a_n-a_n-1=2（n≥2）或a_n+a_n-1=2（n≥2），…（4分）
若a_n+a_n-1=2（n≥2），则有a₂+a₁=2，又a₁=1，
所以a₂=1，则a₁=a₂，这与数列{a_n}递增矛盾，
所以a_n-a_n-1=2（n≥2），故数列{a_n}为等差数列．…（6分）
（2）解：由（1）知a_n=2n-1，
所以

am2+am+12?am+22

amam+1

=

(2m?1)2+(2m+1)2?(2m+3)2

(2m?1)(2m+1)

=

4m2?12m?7

4m2?1

＝

4m2?1?12m?6

4m2?1

＝1?

6

2m?1

，…（8分）
因为1?

6

2m?1

∈Z，所以

6

2m?1

∈Z，
又2m-1≥1且2m-1为奇数，所以2m-1=1或2m-1=3，故m的值为1或2．…（10分）
（3）解：由（1）知a_n=2n-1，则bn＝

1

(2n?1)(2n+1)

＝

1

2

(

1

2n?1

?

1

2n+1

)，
所以T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

[(1?

1

3

)+(

1

3

?

1

5

)+…+(

1

2n?1

?

1

2n+1

)]
=

1

2

(1?

1

2n+1

)＝

n

2n+1

，…（12分）
从而λ?

n

2n+1

＜n+18(?1)n+1对任意n∈N^*恒成立等价于：
当n为奇数时，λ＜

(2n+1)(n+18)

n

恒成立，
记f(n)＝

(2n+1)(n+18)

n

，则f(n)＝2(n+

9

n

)+37≥49，当n=3时取等号，所以λ＜49，
当n为偶数时，λ＜

(2n+1)(n?18)

n

恒成立．
记g(n)＝

(2n+1)(n?18)

n

，因为g(n)＝2(n?

9

n

)?35递增，所以g（n）_min=g（2）=-40，
所以λ＜-40．综上，实数λ的取值范围为λ＜-40．…（16分）