Question

已知：等边△ABC的边长为a．探究（1）：如图1，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MN

已知：等边△ABC的边长为a．探究（1）：如图1，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形且MN= 3 a；探究（2）：在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、E、F．①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1． OD+OE+OF= 3 2 a；结论2． AD+BE+CF= 3 2 a；②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：如图1，∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC=60°． ∵BC⊥MN，BA⊥MG， ∴∠CBM=∠BAM=90°． ∴∠ABM=90°-∠ABC=30°． ∴∠M=90°-∠ABM=60°． 同理：∠N=∠G=60°． ∴△MNG为等边三角形． 在Rt△ABM中，BM= AB sinM = a sin60° = 2 3 3 a， 在Rt△BCN中，BN= BC tanN = a tan60° = 3 3 a， ∴MN=BM+BN= 3 a． （2）②：结论1成立． 证明：如图3，过点O作GH ∥ BC，分别交AB、AC于点G、H，过点H作HM⊥BC于点M， ∴∠DGO=∠B=60°，∠OHF=∠C=60°， ∴△AGH是等边三角形， ∴GH=AH． ∵OE⊥BC， ∴OE ∥ HM， ∴四边形OEMH是矩形， ∴HM=OE． 在Rt△ODG中，OD=OG?sin∠DGO=OG?sin60°= 3 2 OG， 在Rt△OFH中，OF=OH?sin∠OHF=OH?sin60°= 3 2 OH， 在Rt△HMC中，HM=HC?sinC=HC?sin60°= 3 2 HC， ∴OD+OE+OF=OD+HM+OF= 3 2 OG+ 3 2 HC+ 3 2 OH = 3 2 （GH+HC）= 3 2 AC= 3 2 a． （2）②：结论2成立． 证明：如图4，连接OA、OB、OC，根据勾股定理得： BE 2 +OE 2 =OB 2 =BD 2 +OD 2 ①， CF 2 +OF 2 =OC 2 =CE 2 +OE 2 ②， AD 2 +OD 2 =AO 2 =AF 2 +OF 2 ③， ①+②+③得：BE 2 +CF 2 +AD 2 =BD 2 +CE 2 +AF 2 ， ∴BE 2 +CF 2 +AD 2 =（a-AD） 2 +（a-BE） 2 +（a-CF） 2 =a 2 -2AD?a+AD 2 +a 2 -2BE?a+BE 2 +a 2 -2CF?a+CF 2 整理得：2a（AD+BE+CF）=3a 2 ∴AD+BE+CF= 3 2 a．