Question

如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB上一动点，则EC＋ED的最小值是

如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB上一动点，则EC＋ED的最小值是 ．

Answer 1

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试题分析：首先确定DC′=DE+EC′=DE+CE的值最小．然后根据勾股定理计算： 如图，过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小． 连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°. ∴BC′⊥BC，∠BCC′="∠BC′C=45°." ∴BC="BC′=2." ∵D是BC边的中点，∴BD=1. 根据勾股定理可得 .

Answer 2

解：作CW⊥AB于W，DP⊥AB于P。设EB=x,EC+ED的值为y.
∵△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90度，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，CW⊥AB于W，DP⊥AB于P。
∴Rt△ACB的以AB为底的高CW=为[sin(tan^-1AC/BC)]·CB=sin45°·2=√2=WB，又D是BC边的中点，CW‖DP，即Rt△CWB≌Rt△DPB,于是有CW/DP=CB/DB→√2/DP=1/2，得：DP=（√2）/2，即PB=DP=（√2）/2。又EB=x,EC+ED的值为y。
∴当0<x时，y=√[(WB-X)^2+CW^2]+√[（PB-X)^2+DP^2]=√（4-2√2x+x^2)+√(1-√2x+x^2)=√[(x-√2）^2+2]+√{[x-(√2)/2]^2+1/2}①
[那么x取何值时y最小？这就涉及将军引马的问题，此时我们应将CW关于AB作轴反射，得到WC`，连接C`E、ED，这就很明显了（因为在Rt△CWE与Rt△C`WE中有：C`W=CW，WE=WE，所以Rt△CWE≌（全等于）Rt△C`WE），要使EC+ED最小，即须使C`E、ED在同一条直线上（两点之间直线最短），再作C`E‖PZ，且C`E=PZ（C`E与PZ在AB同侧），（即有EC`ZP为平行四边形）连接C`Z（又∠AEC`=90°，即EC`ZP为矩形，即C`E、ED在同一直线上时有Rt△DZC`，且有EP‖C`Z），所以Rt△DZC`∽（相似于）Rt△DPE，即有ED/C`Z=DP/DZ=DP/（DP+PZ）=DP/（DP+CE），又ED=EA-PA=X-（√2）/2，C`Z=WP=√2，于是有[X-（√2）/2]/√2=（√2）/[（√2）/2+√2]→X=（5√2）/6，代入①中得：Y=（√74+√26）/6]
∴当x=（5√2）/6时，有EC+ED最小值，且为（√74+√26）/6]。（这里求EC+ED，最好是用图解法）