Question

已知抛物线x2=4y，过点A（0，a）（其中a为正常数）任意作一条直线l交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点．（

已知抛物线x2=4y，过点A（0，a）（其中a为正常数）任意作一条直线l交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点．（1）求OM?ON的值；（2）过M，N分别作抛物线C的切线l1，l2，试探求l1与l2的交点是否在定直线上，证明你的结论．

Answer 1

（1）设直线l方程为y=kx+b，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由

y＝kx+a x2＝4y

消去y得x²-4kx-4a=0，所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4a
∴y1y2＝(kx1+a)(kx2+a)＝k2x1x2+ak(x1+x2)+a=-4ak²+4ak²+a=a
故

OM

?

ON

＝x1x2+y1y2＝?4a+a2．…（6分）
（2）求导数，可得y′＝

1

2

x，设l₁方程为y?

x 2 1

4

＝

1

2

x1(x?x1)，整理得y＝

1

2

x1x?

x 2 1

4

同理得l₂方程为y＝

1

2

x2x?

x 2 2

4

…（9分）
联立方程