Question

（2014?浙江一模）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AP=AB=23，AC=4，D为PC中点，E为PB上一点，且BC

（2014?浙江一模）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AP=AB=23，AC=4，D为PC中点，E为PB上一点，且BC∥平面ADE．（Ⅰ）证明：E为PB的中点；（Ⅱ）若PB⊥AD，求直线AC与平面ADE所成角的正弦值．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：∵BC∥平面ADE，BC?平面PBC，
平面PBC∩平面ADE=DE，
∴BC∥DE．
∵D为PC中点，
∴E为PB的中点．
（Ⅱ）解：∵AP=AB，E为PB的中点，∴AE⊥PB，
又PB⊥AD，∴PB⊥平面ADE，
得DE⊥PB，且平面PBC⊥平面ADE．
由BC∥DE，得BC⊥PB．
过C作CH⊥ED于H，由平面PBC⊥平面ADE，∴CH⊥平面ADE．
∴∠CAH是直线AC与平面ADE所成的角．
∵BC∥DE，BC⊥PB，∴CH＝BE＝

1

2

PB＝

6

，
∴sin∠CAH＝

CH

AC

＝

6

4

．