Question

已知数列{an}中，a1＝1，a2＝?2，an+2＝?1an，Sn是数列{an}的前n项和，则S2010=______

已知数列{an}中，a1＝1，a2＝?2，an+2＝?1an，Sn是数列{an}的前n项和，则S2010=______．

Answer 1

∵an+2＝?

1

an

，
∴a3＝?

1

a1

=-1，a4＝?

1

a2

=

1

2

，a5＝?

1

a3

=1=a₁，a6＝?

1

a4

=-2=a₂，…
由此发现，数列{a_n}满足an+4＝?

1

an+2

＝an，是周期为4的周期数列．
∴S₂₀₁₀=（a₁+a₂+a₃+a₄）+（a₅+a₆+a₇+a₈）+…+（a₂₀₀₅+a₂₀₀₆+a₂₀₀₇+a₂₀₀₈）+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀
=502（a₁+a₂+a₃+a₄）+（a₁+a₂）=502（1-2-1+

1

2

）+（1-2）=-754
故答案为：-754