(2013?烟台)已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过A,B向直线CP作垂线,垂

(2013?烟台)已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.(1)如图1,当点P... (2013?烟台)已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.(1)如图1,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是______,QE与QF的数量关系式______;(2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;(3)如图3,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时(2)中的结论是否成立?请画出图形并给予证明. 展开
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563绵绵艹猪B
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知道答主
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解答:解:(1)AE∥BF,QE=QF,
理由是:如图1,∵Q为AB中点,
∴AQ=BQ,
∵BF⊥CP,AE⊥CP,
∴BF∥AE,∠BFQ=∠AEQ=90°,
在△BFQ和△AEQ中
∠BFQ=∠AEQ
∠BQF=∠AQE
BQ=AQ

∴△BFQ≌△AEQ(AAS),
∴QE=QF,
故答案为:AE∥BF;QE=QF.

(2)QE=QF,
证明:如图2,延长FQ交AE于D,
∵Q为AB中点,
∴AQ=BQ,
∵BF⊥CP,AE⊥CP,
∴BF∥AE,
∴∠QAD=∠FBQ,
在△FBQ和△DAQ中
∠FBQ=∠DAQ
BQ=AQ
∠BQF=∠AQD

∴△FBQ≌△DAQ(ASA),
∴QF=QD,
∵AE⊥CP,
∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线,
∴QE=QF=QD,
即QE=QF.

(3)(2)中的结论仍然成立,
证明:如图3,
延长EQ、FB交于D,
∵Q为AB中点,
∴AQ=BQ,
∵BF⊥CP,AE⊥CP,
∴BF∥AE,
∴∠1=∠D,
在△AQE和△BQD中,
∠1=∠D
∠2=∠3
AQ=BQ

∴△AQE≌△BQD(AAS),
∴QE=QD,
∵BF⊥CP,
∴FQ是斜边DE上的中线,
∴QE=QF.
IonelyHero
2018-06-30
知道答主
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