Question

设数列{an}是公差不为0的等差数列，Sn为其前n项和，数列{bn}为等比数列，且a1=b1=2，S2=5b2，S4=25b3．（

设数列{an}是公差不为0的等差数列，Sn为其前n项和，数列{bn}为等比数列，且a1=b1=2，S2=5b2，S4=25b3．（I）求数列{an}和{bn}的通项公式an及bn；（II）设数列{cn}满足cn=bnSn，问当n为何值时，cn取得最大值？

Answer 1

（I）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
则S₂=2a₁+d=4+d，S₄=4a₁+6d=8+6d，b₂=b₁q=2q，b₃=2q²，
根据题意可得：S₂=5b₂，S₄=25b₃，即

4+d＝10q 8+6d＝50q2

，
解得：

q＝ 4 5 d＝4

或者

q＝ 2 5 d＝0

（舍去），
因为a₁=b₁=2，数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}为等比数列，
所以a_n=4n-2，b_n=2?(

4

5

)n?1．
（II）因为S_n是等差数列{a_n}的前n项和，
所以S_n=2n²，所以c_n=b_nS_n=4n²?(

4

5

)n?1．
假设C_n最大，因为C₁=4，C₂=

64

5

，所以C₁＜C₂，所以n≥2．
由C_n最大，可得：

Cn≥Cn+1 Cn≥Cn?1

，即

4n2( 4 5 )n?1≥4(n+1)2( 4 5 )n 4n2( 4 5 )n?1≥4(n?1)2( 4 5 )n?2

，
化简可得：

n2?8n?4≥0 n2?10n+5≤0

，
解得：4+

20

≤n≤5+

20

，
因为4＜

20

＜5，
所以8＜n＜10，所以n=9，
即当n=9时，C₉最大．