Question

已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，现设向量m=（2sinA2，3），向量n=（cosA，2cos2A4-1），且m

已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，现设向量m=（2sinA2，3），向量n=（cosA，2cos2A4-1），且m与n共线．（1）求（m+n）?n的值；（2）若a=7，且△ABC的面积为332，求b+c的值．

Answer 1

（1）∵向量

m

=（2sin

A

2

，

3

），向量

n

=（cosA，2cos²

A

4

-1），且

m

与

n

共线．
∴

3

cosA＝2sin

A

2

(2cos2

A

4

?1)
∴

3

cosA=2sin

A

2

cos

A

2

，
∴

3

cosA=sinA，
∴tanA＝

3

又A∈（0，π）
∴A＝

π

3

∴向量

m

=（1，

3

），向量

n

=（

1

2

，

3

2

），
∴（

m

+

n

）?

n

=

m

?

n

+

n

2=

1

2

+

3

×

3

2

+1=3．
（2）∵S△ABC＝

1

2

bcsinA＝

1

2

bcsin

π

3

＝

3

2

3

，
∴bc=6
由余弦定理得：a2＝b2+c2?2bccos

π

3

，
∵a=

7

，
∴（b+c）²=7+3bc=25，
∴b+c=5．