Question

已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26．{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝1Sn(n∈N+)，

已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26．{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝1Sn(n∈N+)，求数列{bn}的前n项和Tn并证明：13≤Tn＜34．

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃=7，a₅+a₇=26，∴

a1+2d＝7 a1+4d+a1+6d＝26

，解得

a1＝3 d＝2

，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，S_n=

n(3+2n+1)

2

=n²+2n（n∈N^*）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：S_n=n（n+2），∴bn＝

1

n(n+2)

＝

1

2

(

1

n

?

1

n+2

)，
∴T_n=

1

2

[(1?

1

3

)+(

1

2

?

1

4

)+(

1

3

?

1

5

)+…+(

1

n?1

?

1

n+1

)+(

1

n

?

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

?

1

n+1

?

1

n+2

)
=