Question

已知函数f（x）=（ax）-x，若对任意的x∈（0，1），有不等式f（1-x）f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围

已知函数f（x）=（ax）-x，若对任意的x∈（0，1），有不等式f（1-x）f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

f（x）=

a

x

-x，f（1-x）=

a

1?x

-（1-x），
对任意x属于（0，1），不等式f（x）f（1-x）≥1，
?（a-x²）[a-（1-x）²]≥x（1-x），
?a²-a[x²+（1-x）²]+[x（1-x）]²≥x（1-x），①
设u=x（1-x）∈（0，

1

4

]，①变为a²-a（1-2u）+u²-u≥0，
即（a+u）（a+u-1）≥0，
∴a≤-u，或a≥1-u，
∴a≤-

1

4

，或a≥1，
∴实数a的取值范围是：{a|a≤-

1

4

，或a≥1}．