Question

求极限limx→a(cosx-cosa)/(x-a)

求极限:limx→a(cosx-cosa)/(x-a)

解释一下题目,是求当趋近于a时,(cosx-cosa)除以(x-a)的极限

答案是-sina

用洛必达法则求,我会,很容易求出.有没有别的方法?

我觉得可以用等价无穷小量的代换来做,即把x-a看成整体,其趋近于0,然后化简分数线上面的部分,应该会出现x-a,然后利用三角函数中的等价无穷小量关系代换,求出答案.具体如下

设x-a=A
原题化为limA→0(cosx-cosa)/A

单看分数线上面,cosx-cosa=2cos^2 x/2-1-(1-2sin^2 x/2)
=2[cos(x-a)/2-1]=-2[1-cos(A/2)]

因为当A趋近于0时,1-cosA和(A^2)/2是等价无穷小量,可以代换

所以,原题化为lim(A→0)-2*[(A/2)^2]/2/A=-A/4=0

为什么这样作,就得不出正确结果呢,错在哪里了?

谢谢帮忙,希望能写清详细过程,谢谢
那个三角函数的化简没错啊,请指正一下

我知道洛必达法则是如何出来的,也知道这道题的正解应该是用洛必达法则,但我那个算法错在哪里了呢,没想明白

更正一下,打错个字cosx-cosa=2cos^2 x/2-1-(1-2sin^2 a/2)

Answer 1

法一：洛必达法则
limx→a(cosx-cosa)/(x-a)
=limx→a-sinx
=-sina
法二：直接法
limx→a(cosx-cosa)/(x-a)
=limx→a -2sin(x+a)/2sin(x-a)/2/(x-a)
=limx→a -sin((x+a)/2)sin((x-a)/2)/[(x-a)/2] 利用极限limx→0 (sinx)/x=1
=limx→a -sin[(x+a)/2]
=-sina

Answer 2

由导数定义，所求极限就是函数f(x)＝cosx在x＝a处的导数，所以结果是－sina

－－－－－
你的化简里面的第二个等号不成立啊？

cosx－cosa＝2[cos(x/2)]^2－1－1＋2[sin(a/2)]^2中的两个平方相加怎么等于cos(x-a)/2了？？？？

应该使用和差化积公式！

Answer 3

~

2cos^2 x/2-1-(1-2sin^2 a/2)=2[cos(x-a)/2-1]
三角函数错了！！！

这题目基本等于洛必达法则本身，摆明了用它解。如果您有兴趣再弄，不如用您想的方法证洛必达法则本身意义大些

建议您可以查或买当年初建导数理论时候的数学文献，都是您这样干的，现在有各种定理工具方便多了

go flying.byebye

Answer 4

哥哥，姐姐，你的三角函数是错了啊，我正好学啊
别的不懂