Question

高等数学，递归数列极限的一道题。 16题，我的问题是这样。 fx确实是单调递增的没错，可是他是

高等数学，递归数列极限的一道题。

16题，我的问题是这样。

fx确实是单调递增的没错，可是他是根据x的值变化的，也就是说，其实这里a(n+1)和a(n)的大小并不清楚，也就是说并不清楚数列an是否是递增或递减，是得不出an的单调性的。

是这题有问题还是我想错了？

我的思路是用a(n+1)-a(n)来确定数列an的单调性，但是好像证不出来。

Answer 1

解答确实有问题。应该看y和x迭代列的变化而不是y的单调性。
这个数列在初项大于根号3时是递减的，在初项小于根号3时递增，在初项等于根号3时为常数列。

Answer 2

你肯定是证明不出an+1＞an的。
因为当a1＞√3时，an+1＜an，是递减数列。
当a1=√3时，an恒等于√3。
当0＜a1＜√3时，an+1＞an才成立，才是递增数列。

求出f（x）的单调增函数，目的并不是证明出an是单调增数列。
而只是证明了an是单调数列。
即前面说的，因为当a1＞√3时，an+1＜an，是递减数列。
当a1=√3时，an恒等于√3。
当0＜a1＜√3时，an+1＞an才成立，才是递增数列。
除了a1=√3时是常数数列以外，
a1等于其他正数时，an都必然是单调数列（或单调增数列，或单调减数列）
然后前面证明了除了a1以外，其他an都满足0＜an＜3，所以an是有界数列。
那么合起来就必然是单调有界数列，当然有极限。

追问

是的我发现了

追答

但是解答是没问题的。
你看看，解答中，并没说an是单调增数列，说的是an是单调数列，没有增字。

Answer 3

你这个数列每一项均大于0，能看出来吧？
它用递归方程在R上算出递归为单调增加的，无论x怎么取值，再者an>0对于任意项均成立，得到的递归方程R上单调增加比离散的取值的情况更强，为其充分条件，所以必定成立。

追问

数列是大于0我知道

我只能这么想， 假设a1是无穷大，那么a2就是3，a3就是2 依次类推，发现an是递减的

追答

an是自然数集往一个有序集的映射，怎么可能有通项an为无穷大呢？怕是你无穷大量的定义都没搞清楚。

单调性可以用这个求导算，但是有界性用求导看不出来，应该用数学归纳法证明数列有界。

追问

数列的第一个初值不能为无穷大吗

而且打个比方，如果数列通项是a(n+1)=2*an的话，an不就是趋于无穷大，发散的吗

Answer 4

解释很清楚啊。
a(n+1)=f(an)，已经给出了递推公式，也就是函数表示，然后用导数来判断，没错啊。

追问

fx的单调性只是x变化导致的fx的单调性啊，怎么说明x即an的单调性？

追答

你不要看x和an的关系，看fx就是an+1

Answer 5

追答

解答确实有问题。应该看y和x迭代列的变化而不是y的单调性。

这个数列在初项大于根号3时是递减的，在初项小于根号3时递增，在初项等于根号3时为常数列。

追问

在理啊。。

胸弟你好棒

追答

→_→ 那就请采纳一下吧...

谢谢~