Question

判别式法求函数值域怎么求

Answer 1

判别式法求函数值域方法：求判别式b^2-4ac，从而判断出值域中函数的根的个数。如果b^2-4ac<0无根，b^2-4ac=0有两个相等根即一个根，b^2-4ac>0有两个不相等根。

具体解题过程：

把x作为未知量，y看作常量，将原式化成关于x的一元二次方程形式y＊,令这个方程有实数解,然后对二次项系数是否为零加以讨论：

（1）当二次项系数为0时,将对应的y值代入方程y＊中进行检验以判断y的这个取值是否符合x有实数解的要求。

（2）当二次项系数不为0时，∵x∈R,∴Δ≥0

此时直接用判别式法是否有可能产生增根，关键在于对这个方程去分母这一步是不是同解变形。

扩展资料：

求函数值域的常用方法 ：

1、观察法：通过对解析式的观察和简单变形，利用熟知的基本函数的值域，求出变形前的函数的值域 。

2、配方法：若是二次函数，可化形成一般式，则可通过配方后结合二次函数的性质求值域，注意要给区间二次函数最值的求法 。

3、反比例函数法：形如y=(cx+d)/(ax+b)的形式的值域为{y∈R|y≠c/a}。

4、利用复合函数的单调性：注意二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论。

参考资料来源：

百度百科-值域 （数学名词，函数经典定义）

百度百科-判别式

Answer 2

高中数学必修1—判别式法求函数值域

Answer 3

一、判别式法求值域的理论依据

求函数的值域

象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。

解：由得：

（y-1）x2+(1-y)x+y=0 ①

上式中显然y≠1,故①式是关于x的一元二次方程

为什么可以这样做？即为什么△≥0，解得y的范围就是原函数的值域？

我们可以设计以下问题让学生回答：

当x=1时，y=? (0) 反过来当y=0时，x=?（1）

当x=2时，y=? () 当y=时，x=?（2）

以上y的取值，对应x的值都可以取到，为什么？

（因为将y=0和y=代入方程①，方程的△≥0）

当y=-1时，x=?

当y=2时，x=?

以上两个y的值x都求不到，为什么求不到？

（因为将y的值代入方程①式中△<0,所以无解）

当y在什么范围内，可以求出对应的x值？

函数的值域怎样求？

若将以上问题弄清楚了，也就理解了判别式求值域的理论依据。

二、判别式法求值域的适用范围

前面已经谈到分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。是不是所有这种类函数都可以用判别式法求值域？

求的值域

从表面上看，此题可以用判别式法求值域。

由原函数得：（y-3）x2+2x+(1-y)=0

=4-4（y-3）(1-y)≥0

即（y-2）2≥0 ∴y∈R

但事实上，当y=3时，可解得x=1, 而x=1时，原函数没意义。问题出在哪里呢？

我们仔细观察一下就会发现，此函数的分子分母均含有因式（x-1）,因此原函数可以化简为，用反函数法可求得，又x≠1代入可得y≠2，故可求得原函数的值域为。

因此，当函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，但分子分母有公因式可约分时，此时不能用用判别式法做，应先约分，再用反函数法求其值域。特别值得注意的是约分后的函数的定义域，如上例中化简后的函数x≠1，故y≠2。

求函数的值域

此函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，且分子分母无公因式，可不可以用判别式法来求值域呢？

由得：3yx2+(2y-1)x+y+5=0

1）当3y=0，即y=0时，可解得x=5，故y可以取到0

2）当3y≠0时，令△=(2y-1)2－4×3y (y+5)≥0

解得：

由1）、2）可得原函数的值域为

上面求得的值域对不对呢？显然y=在所求得的值域范围内，但当y=时，可求得x=2，故了限定了自变量x的取值范围的函数不能用判别式法求值域。

此题可用导数法求得原函数在区间[3，5]内单调递增，故函数的定义域为。

综上所述，函数必须同时满足以下几个条件才可以用判别式法求其值域：

分子分母的最高次为二次的分式函数；

分子分母无公约数；

未限定自变量的取值范围。

最后需要说明的是用判别式求值域时，第一步将函数变为整式的形式，第二步一定要看变形后的二次项（x2项）系数是否含有y，若含有y，则要分二次项系数为零和不为零两种情况进行讨论。

利用判别式求值域时应注意的问题
用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法，但在用判别式法求值域时经常出错，因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：
一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验
错因：把 代入方程（＊）显然无解，因此 不在函数的值域内。事实上， 时，方程（＊）的二次项系数为0，显然不能用“ ”来判定其根的存在情况
二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化
解中函数式化为方程时产生了增根（ 与 虽不在定义域内，但是方程的根），因此最后应该去掉 与 时方程中相应的 值。所以正确答案为 ，且 。
三、注意变形后函数值域的变化
四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性
综上所述，在用判别式法求函数得值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变了函数得定义域或值域。因此，用判别式求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数得定义域，判别式存在的前提，并注意检验区间端点是否符合要求。

Answer 4

举例
y=(2x+1)/(x²+1)
定义域：R
y(x²+1)=x+1
yx²-x+y-1=0......①
∵ y=(x+1)/(x²+1)的定义域是R
∴ 关于x的方程①恒有实数解
∴ Δ=(-1)²-4y(y-1)≥0
4y²-4y-1≤0
(4-√32)/8≤y≤(4+√32)/8
(1-√2)/2≤y≤(1+√2)/2
∴
y=(2x+1)/(x²+1)的值域是
[(1-√2)/2，(1+√2)/2]

追答

sorry，编辑失误
y=(2x+1)/(x²+1)应该是
y=(x+1)/(x²+1)

PS：
1，附上y=(x+1)/(x²+1)的函数图像

2，对于分母为0的，如y=(2x+1)/(x²-1)，无需判别式。其值域是R。

追问

什么分母为零

Answer 5

额，不熟。