Question

已知函数f(x)=ax^2 ＋㏑(x十1),(1)求函数g(x)=f(x)一ax^2-x的单调区

及最大值，(2)当x∈[0，＋∞)时，不等式f(x)恒成立，求a的取值范围，(3)求证(1十1/2^2
)(1十1/3^2)(1十1/4^2)……(1十1/n^2)
<e

Answer 1

f(x)=ax²+㏑(x+1)
g(x)=f(x)-ax²-x=㏑(x+1)-x
定义域x>-1
g'(x)=1/(x+1)-1
驻点：x=0
-1≤x<0 g'(x)>0 g(x)单调递增
x>0 g'(x)<0 g(x)单调递减
∴g(0)=0是极大值。
(2)f(x)=ax²+㏑(x+1) x≥0
f'(x)=2ax+1/(x+1)=[2ax(x+1)+1]/(x+1)=[2a(x+1/2)²+1-a/2]/(x+1)
令分子=g(x)：对称轴x=-1/2 x≥0区间在对称轴右侧，a>0时g(x)单调递增 g(x)≥g(0)=1>0
∴f'(x)>0,f(x)单调增
f(x)≥f(0)=0
∴f(x)≥0 恒成立
a=0，f(x)=㏑(x+1)≥0
∴a的取值范围a≥0.
(3)(1+1/2^2)(1+1/3^2)(1+1/4^2)……(1+1/n^2)<[(1+1/2^2+…1+1/n^2)/(n-1)]^(n-1)
算术平均数≥几何平均数
不等式右边=[(n-1+1/2^2+1/3^2+1/4^2…1/n^2)/(n-1)]^(n-1)
<{1+[(1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/[(n-1)*n]/(n-1)}^(n-1)
=[1+(n-1)/n/(n-1)]^(n-1)
=(1+1/n)^(n-1)
令f(n)=(1-1/n)^(n-1)
ln(fn)=(n-1)ln(1-1/n)
f'(n)/f(n)=[(n-1)/(1-1/n)]·1/n²
f'(n)=(1-1/n)^(n-2)·(n-1)/n²>0
∴f(n)单调递增
∵lim(n→+∞)f(n)=e
∴f(n)<e,不等式成立