Question

已知函数f(x)=(x^2-x-1/a)e^ax(a＞0) (1)当a=1时，求函数f（x）的单调区间 （2）若不等式f(x)+5/a≥0对x∈

已知函数f(x)=(x^2-x-1/a)e^ax(a＞0)
(1)当a=1时，求函数f（x）的单调区间
（2）若不等式f(x)+5/a≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围

Answer 1

f'(x)=(2x-1)e^x+(x^2-x-1)e^x=(x^2+x-2)e^x=0
x=1或-2
x>1, x<-2,f'(x)>0
-2<x<1,f'(x)<0
所以x<-2为增函数 x在（-2,1）为减函数 x>1为增函数
(2)f'(x)=(2x-1)e^ax+(x^2-x-1/a)e^ax*a=e^ax*(ax^2+(2-a)x-2)=e^ax[ax+2][x-1]=1/a*e^ax*(x+2/a)(x-1)>0
得到x>1,x<-2/a,即是增函数
当-2/a<x<1上时，f'(x)<0,即是减函数。
f(x)+5/a>=0对一切R恒成立，即f(x)>=-5/a恒成立。
即-5/a<=[f(x)]min=f(1)=(1-1-1/a)e^a
-5/a<=-e^a/a
5>=e^a
a<=ln5
即a的范围是0<a<ln5