问: 函数f(x)在x≠0时为x²sin1/x 在x=0时为0,为什么在x=0处可导?
3个回答
2016-09-19
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因为在补充x=0,f(x)=0之前,x=0是这个函数的一个间断点,极限不存在,当给x=0处f(x)=0后函数在该点连续且左右极限存在且相等,所以可导
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函数在某点可导的充要条件是函数在该点的左右极限都存在且相等.也可以说是左导数和右导数都存在且相等.
思路:证明函数f(x)在x=0的左导数和右导数存在且相等,
证明函数在x=0处连续,
x/=0,
limx趋向于0+x^2sin1/x
limx趋向于0+x^2=
、>0,趋向于0,limx趋向于0 x^2=0^2=0
x>0,x^2>0,>0趋向于0,则趋向于0+,趋向于0
limx趋向于0-x^2
limx趋向于0x^2=0^2=0
x<0,趋向于0,x<0,x^2>0,x^2>0而且当x趋向于0时候的极限为0
则x^2>0,趋向于0
当limx趋向于0-x^2=0+,趋向于0
limx趋向于0-x^2=limx趋向于0+x^2=0
说明在x=0处连续,即可导
思路:证明函数f(x)在x=0的左导数和右导数存在且相等,
证明函数在x=0处连续,
x/=0,
limx趋向于0+x^2sin1/x
limx趋向于0+x^2=
、>0,趋向于0,limx趋向于0 x^2=0^2=0
x>0,x^2>0,>0趋向于0,则趋向于0+,趋向于0
limx趋向于0-x^2
limx趋向于0x^2=0^2=0
x<0,趋向于0,x<0,x^2>0,x^2>0而且当x趋向于0时候的极限为0
则x^2>0,趋向于0
当limx趋向于0-x^2=0+,趋向于0
limx趋向于0-x^2=limx趋向于0+x^2=0
说明在x=0处连续,即可导
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当x趋向于0时极限存在即可导,x趋近于0时,1/x趋近于无穷大,sin函数为有界函数,前一项趋近于无穷小,所以极限是0,存在极限,故该函数可导
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无穷小量乘有界变量仍未无穷小量
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