Question

问: 函数f(x)在x≠0时为x²sin1/x 在x=0时为0，为什么在x=0处可导？

Answer 1

因为在补充x=0，f（x）=0之前，x=0是这个函数的一个间断点，极限不存在，当给x=0处f（x）=0后函数在该点连续且左右极限存在且相等，所以可导

Answer 2

函数在某点可导的充要条件是函数在该点的左右极限都存在且相等.也可以说是左导数和右导数都存在且相等.
思路：证明函数f(x)在x=0的左导数和右导数存在且相等，
证明函数在x=0处连续，

x/=0,
limx趋向于0+x^2sin1/x
limx趋向于0+x^2=
、>0,趋向于0，limx趋向于0 x^2=0^2=0
x>0,x^2>0,>0趋向于0，则趋向于0+，趋向于0
limx趋向于0-x^2
limx趋向于0x^2=0^2=0
x<0,趋向于0，x<0,x^2>0,x^2>0而且当x趋向于0时候的极限为0
则x^2>0,趋向于0
当limx趋向于0-x^2=0+，趋向于0
limx趋向于0-x^2=limx趋向于0+x^2=0
说明在x=0处连续，即可导

Answer 3

当x趋向于0时极限存在即可导，x趋近于0时，1/x趋近于无穷大，sin函数为有界函数，前一项趋近于无穷小，所以极限是0，存在极限，故该函数可导

追答

无穷小量乘有界变量仍未无穷小量