Question

已知lim(x→0)[ln(1+x)-(ax+bx^2)/x^2]=2，求a、b?

我求出来a=1，b=-5/2.为什么我返带回去，求不出极限=2呢？？？？

Answer 1

这是因为第三步出错了，不能直接把x=0代入，

还需要使用一次罗必塔法则，

详细解答如下所示：

追问

为什么不能直接把1/(1+x)先求极限成1呀？

Answer 2

解：因为lim(x→0)ln(1+x)=0，lim(x→0)[ln(1+x)-(ax+bx^2)/x^2]=2，
所以lim(x→0)(ax+bx^2)/x^2=-2.
lim(x→0)(a/x+b)=-2
当a=0时，b=-2. （否则lim(x→0)(a/x+b)为无穷大）
检验：当a=0，b=-2时，原式=lim(x→0)[ln(1+x)+2x^2/x^2]=lim(x→0)[ln(1+x)+2]=2.
所以a=0,b=-2.
希望能帮得到你!

追问

lim(x→0)[ln(1+x)-(ax+bx^2)]/x^2=2
实在不好意思，中括号打错了。
可以麻烦您再做一下么。。 就是 我算出来数了，回带检验出问题了。我想知道哪个知识点有漏洞。万分感谢！！

追答

代入检验时，由于分母为0，无意义，所以不能直接代入检验。

Answer 3

看了你就明白，错在哪里

满意，请及时采纳。谢谢！

追问

请问为什么不能带值计算，是因为是加减法的原因吗？

追答

不是，这一步式子，分子分母都趋近于0，不能代值计算。化简后，直到分母不为0，才能代值计算。

Answer 4

x->0
ln(1+x) = x -(1/2)x^2 +o(x^2)
ln(1+x) -(ax+bx^2)
=(1-a)x +[ -(1/2) -b ] x^2 +o(x^2)
lim(x->0)[ln(1+x)-(ax+bx^2)]/x^2=2
=>
1-a=0 and -1/2 -b=2
a=1 and b= -5/2
lim(x->0)[ln(1+x)-(ax+bx^2)]/x^2
lim(x->0) 2x^2/x^2
=2