Question

二重积分求质心

如图，因为已知是均匀分布，所以密度函数可以省略么？为什么？

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Answer 1

用直角坐标系下的质心公式直接计算。

设单位面积质量1，得到此均质圆弧质量为：(α/(2π))*πa^2=(1/2)αa^2

显然,质心应zhi在扇形的对称轴上,设其与圆心的距离为X

则：((1/2)αa^2)X=∫∫(a*cosα)*da*adα=∫∫(cosα)a^2dadα

(a从0到a,α从-α/2到α/2)

((1/2)αa^2)X=∫∫(cosα)a^2dadα=∫(cosα)dα ∫a^2da =2sin(α/2)*(1/3)a^3

=(2/3)sin(α/2)a^3

X=(4a/3)sin(α/2)

扩展资料：

在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以r=a，即O为圆心r为半径的圆和以θ=b，O为起点的射线去无穷分割D，设Δσ就是r到r+dr和从θ到θ+dθ的小区域。

参考资料来源：百度百科-二重积分

Answer 2

Answer 3

u是常数，提出来约下去了