Question

已知关于x的一元二次方程2x²+4x+k-1=0有实数根，k为正整数。 ﹙1﹚当此方程有两个非零的

整数根时，将关于x的二次函数y=2x²+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
﹙2﹚在﹙1﹚的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图象。请你结合这个新的图象回答：当直线y=½x+b﹙b＜k﹚与此图象有两个公共点时，b的取值范围。

Answer 1

(1)
∵有实数根
∴△≥0
∴4²-4*2*(k-1)≥0
∴k≤3
又k为正整数
∴k的值为1,2,3

(2)
∵k的值为1,2,3
∴
①当k=1时，y=2x²+4x，显然有一根为0，不符舍去。
②当k=2时，y=2x²+4x+1,则△=4²-4*2*1=8
∴√△是无限不循环小数
∴根不是整数，不符，舍去。
③当k=3时，y=2x²+4x+2=2(x+1)²
∴有等根x=-1（非零、整数：符合）
综合①②③得：k=3
∴y=2x^2+4x+2
下移8个单位，即y-8，∴y=(2x^2+4x+2)-8=2x^2+4x-6

(3)
y=2x^2+4x-6=2(x+3)(x-1)
∴y=0的两根为x=1和x=-3
先作图，并画出直线y=1/2x，并把直线上下平移
设
平移中与y=2(x+3)(x-1)相切的直线（切于-3＜x＜1）为 l1
平移中与y=2(x+3)(x-1)相交于点(-3,0)的直线为 l2
平移中与y=2(x+3)(x-1)相交于点(1,0)的直线为 l3
显然当直线在 l1 上方 或 在 l2 与 l3 之间时有两个公共点
①联立 y=1/2x+b 和 y=-(2x^2+4x-6) 可以解出 l1，得到的b=6+81/32 > k = 3 ，不符舍去。
②∵l2过(-3,0)，l3过(1,0)
∴解得：b2=3/2，b3=-1/2
∴-1/2<b<3/2
又 b<k=3
∴-1/2<b<3/2