Question

数学取值范围

.已知函数

在点（1,2）处的切线与f（x）的图像有三个公共点，则a的取值范围是（ ）
A

B

C

D





Answer 1

已知函数f(x)=x²+1(x>0)，f(x)=√(-x²-4x)+a(x≦0)；在点(1，2)处的切线与f(x)的图像有三个公共
点，求a的取值范围。
解：f '(x)=2x，f '(1)=2，故过(1，2)的切线方程为y=2(x-1)+2=2x；切点(1，2)算一个公共点。
f(x)=√(-x²-4x)+a的定义域域：由-x²-4x=-x(x+4)≧0，即x(x+4)≦0，故-4≦x≦0.
另外两个公共点只能是切线与f(x)=√(-x²-4x)+a的公共点。
令2x=√(-x²-4x)+a，即有2x-a=√(-x²-4x)；
平方去根号得4x²-4ax+a²=-x²-4x；
即有5x²-4(a-1)x+a²=0
因为有两个公共点，故其判别式△=16(a-1)²-20a²=-4a²-32a+16=-4(a²+8a-4)>0
即有a²+8a-4=[a-(-8-√80)/2][a-(-8+√80)/2]=[a-(-4-2√5)][a-(-4+2√5)]<0
故得-4-2√5<a<-4+2√5；应选B.

追问

正确答案是D，你应该有一点想错了吧！！

追答

你说的对，是错了！因为我一时忽略了一个原则：判别式法只适用于二次函数的定义域为
自然定义域R的情况。现在f(x)=√(-x²-4x)+a的定义域是-4≦x≦0，因此判别式法部分失效。
(不是完全失效，而是需要其它手段作补充)前面求定义域时想到了，但到后来又忘记了！
用数形结合的办法比较好解：当a=0时f(x)=√(-x²-4x)的图像类似于抛物线，但比抛物线要“胖”
一些：把以下几点光滑的连起来：(-4，0)；(-3，√3)；(-2，2)；(-1，√3)，(0，0)，就是f(x)在
a=0时的图像。
为了使f(x)=√(-x²-4x)+a与切线y=2x有两个交点，我们把上面画出的图像向下平移：
令f(-4)=a=2×(-4)=-8，从这时开始直线y=2x与f(x)=√(-x²-4x)-8有两个交点，即a的最大值是-8;
令2x=√(-x²-4x)+a，即有2x-a=√(-x²-4x)；
平方去根号得4x²-4ax+a²=-x²-4x；
即有5x²-4(a-1)x+a²=0
因为有两个公共点，故其判别式△=16(a-1)²-20a²=-4a²-32a+16=-4(a²+8a-4)>0
即有a²+8a-4=[a-(-8-√80)/2][a-(-8+√80)/2]=[a-(-4-2√5)][a-(-4+2√5)]-4-2√5.
即a的取值范围为(-4-2√5，-8].因此应选D。

Answer 2

x＞0时，f'(x)=2x，易求得f(x)在(1,2)处的切线l的方程为y=2x，此时l与f(x)的图像仅有一个交点
x＜0时，联立f(x)与l的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程（带有参数a）
由题知该方程在(-∞,0]上有两个不等的实根，则有
Δ>0，x1+x2<0，x1x2>0
联立这三个不等式即可解出a的范围

追问

你能把你答案写出来么？我在按你步骤解答时，发现解出来答案与原答案不符合