Question

设数列{a n }的前n项和为S n ，满足 2 S n = a n+1 - 2 n+1 +1，(n∈N*) 且a 1 ，a 2 +5，a 3

Answer 1

（1）∵
2
S
n
=
a
n+1
-
2
n+1
+1，(n∈N*)
∴2a
1
=a
2
-3①，2（a
1
+a
2
）=a
3
-7②
∵a
1
，a
2
+5，a
3
成等差数列
∴2（a
2
+5）=a
1
+a
3
，③
∴由①②③可得a
1
=1；
（2）证明：∵
2
S
n
=
a
n+1
-
2
n+1
+1
，
∴
2
S
n-1
=
a
n
-
2
n
+1
（n≥2）
两式相减可得
2
a
n
=
a
n+1
-
a
n
-
2
n
∴
a
n+1
=3
a
n
+
2
n
∵数列{b
n
}满足
b
n
=
a
n
+
2
n
，
∴
b
n+1
b
n
=
a
n+1
+
2
n+1
a
n
+
2
n
=
3
a
n
+
2
n
+
2
n+1
a
n
+
2
n
=3（n≥2）
∵2a
1
=a
2
-3，
∴a
2
=5
∴b
1
=3，b
2
=9
∴
b
2
b
1
=3
∴数列{b
n
}是一个以3为首项，公比为3的等比数列．…（9分）
（3）由（2）知
b
n
=
3
n
，即
a
n
+
2
n
=
3
n
∴数列{a
n
}的通项公式是a
n
=3
n
-2
n
．…（11分）
∴
a
n
3
n
=1-(
2
3
)
n
＞
4
5
，即
(
2
3
)
n
＜
1
5
，
所以n≥4，所以n的最小正整数为4．…（15分）

Answer 2

(1)∵a1=1，a(n+1)=2sn，
∴a2=2×s1=2，a3=2×s2=6，a4=2×s3=18
(2)∵a(n+1)=2sn，则an=2sn-1
(n≥2)
∴a(n+1)－an=2sn－2sn-1=2(sn－sn-1)=2an
∴a(n+1)=3an，则a(n+1)/an=3
∴n≥2时，an是以a2=2为首项，公比q=3的等比数列
∴an=2×3^(n－2)
n≥2，n∈n正
当n=1时代入通项公式，得a1=2/3≠1，不成立
∴an=1
，
n=1
an=2×3^(n－2)
，
n≥2
(3)①n=1时，b1=1，tn=b1=1
②n≥2时，bn=n×2×3^(n－2)，tn=1+2×2×3^0+3×2×3^1+4×2×3^2+……+n×2×3^(n－2)
3tn=3+2×[2×3^1+3×3^2
+4×3^3+……+n×3^(n－1)]
两式相减，得－2tn=－2+2×[2+3^1+3^2+3^3+……+3^(n－2)－n×3^(n－1)]=－2+(1－2n)×3^(n-1)+1
∴tn=1/2+[(2n－1)×3^(n－1)]/2
，n≥2
把n=1代入tn，得t1=1成立
∴tn=1/2+[(2n－1)×3^(n－1)]/2
，n∈n正