Question

数列{a n }的前n项和为S n ，首项a 1 =a，且 a n+1 =2 S n +1，n∈ N * （1）若数列{a n }是

数列{a n }的前n项和为S n ，首项a 1 =a，且 a n+1 =2 S n +1，n∈ N * （1）若数列{a n }是等比数列，求实数a的值；（2）设b n =na n ，在（1）的条件下，求数列{b n }的前n项和T n ；（3）设各项不为0的数列{c n }中，所有满足c i ?c i+1 ＜0的整数i的个数称为这个数列{c n }的“积异号数”，令 c n = b n -4 b n (n∈ N * ) ，在（2）的条件下，求数列{c n }的“积异号数”．

Answer 1

（1）由已知得a n+1 =2S n +1，a n =2S n-1 +1（n≥2，n∈N * ）， 两式相减得a n+1 -a n =2（S n -S n-1 ）=2a n ，即a n+1 =3a n （n≥2，n∈N * ）． 又a 2 =2S 1 +1=2a 1 +1=3=3a 1 ，所以a 1 =1 所以数列{a n }是以1为首项，公比为3的等比数列； （2）由（1）得， a n = 3 n-1 ∴b n =na n =n?3 n-1 ∴T n =1+2?3+3?3 2 +…+n?3 n-1 ， ∴3T n =1?3+2?3 2 +…+（n-1）?3 n-1 +n?3 n ， 两式相减可得：-2T n =1+3+3 2 +…+3 n-1 -n?3 n ， ∴T n = 2n-1 4 ? 3 n + 1 4 ； （3）由（2）知，b n =n?3 n-1 ， ∵ c n = b n -4 b n (n∈ N * ) ∴ C 1 =-3， C 2 = 1 3 ，∴C 1 C 2 =-1＜0 ∵C n+1 -C n = 4 b n - 4 b n+1 = 4(2n+3) n(n+)?3n ＞0 ∵ C 2 = 1 3 ＞0，∴n≥2时，C n ＞0 ∴数列{c n }的“积异号数”为1．