Question

在三角形ABC中，顶点B,C坐标为（-12，0），（12，0），AC,AB边上的中线长之和为39，

在三角形ABC中，顶点B,C坐标为（-12，0），（12，0），AC,AB边上的中线长之和为39，则三角形重心的轨迹方程为

Answer 1

设△ABC的重心G为(x,y),A(m,n),
则(m+12-12)/3=x,n/3=y,
∴m=3x,n=3y,
∴AC的中点E(3x/2+6,3y/2),AB的中点F(3x/2-6,3y/2),
∴|BE|+|CF|=√[(3x/2+18)^2+(3y/2)^2]+√[(3x/2-18)^2+(3y/2)^2]=39,
两边都乘以2/3，得√[(x+12)^2+y^2]+√[(x-12)^2+y^2]=26,
∴a=13,c=12,b=5,
所求轨迹(椭圆)方程是x^2/169+y^2/25=1.

解2 设△ABC的重心为G,则
|BG|+|CG|=39*2/3=26，
∴所求轨迹是椭圆，a=13,c=12,b=5,
所求轨迹方程是x^2/169+y^2/25=1.

追问

真牛逼，我就是算不出最后那式子。你居然能算出来，不过我已经知道更简单的方法了。就是椭圆定义法。设G为△ABC的重心，则BG=2/3FB,CG=2/3EC，即BG+CG=2/3(BF+CE)=26,BC=24.∵BG+CG＞BC∴点G的轨迹方程为椭圆。即BG+CG=2a,BC=2c,又a^2=b^2+c^2,∴a,b,c=13，5，12...

追答

知道了