Question

求二元函数，z=x^2*y(4-x-y)在由直线x+y=8,x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值，最大值和最小值。

Answer 1

D区域为x>=0, y>=0, x+y

Answer 2

D区域为x>=0,
y>=0,
x+y<=8
z'x=2xy(4-x-y)-x^2y=xy(8-3x-2y)=0,
得：x=0,
或y=0,
或8-3x-2y=0
z'y=x^2(4-x-y)-x^2y=x^2(4-x-2y)=0,
得：x=0
或4-x-2y=0
x=0或y=0为数轴，即为边界
8-3x-2y=0,
及4-x-2y=0,
解得：x=2,
y=1,
此点在区域D内。
z"xx=y(8-6x-2y)
z"xy=x(8-3x-4y)
z"yy=-2x^2
z(0,
y)=0
z(x,
0)=0
判断知x,
y轴上不为极值点
z(2,
1)=4(4-2-1)=4为极大值点
在另一条边界x+y=8上，有z(x,
8-x)=x^2(8-x)(4-8)=-4x^2(8-x)=-2*x*x(16-2x)
而由均值不等式：x*x*(16-2x)<=[(x+x+16-2x)/3]^3=(16/3)^3=4096/27,
当x=16-2x,
即x=16/3时最大
故有-8192/27=

评论
0

0

0

加载更多