Question

过定点M（-√3，0）作直线与椭圆x2/4+y2/3=1相交于A，B两点，O为原点，求三角形AOB

过定点M（-√3，0）作直线与椭圆x2/4+y2/3=1相交于A，B两点，O为原点，求三角形AOB面积的最大值

Answer 1

设AB:x=my-√3，
代入x^2/4+y^2/3=1得
3(m^2y^2-2√3my+3)+4y^2=12,
整理得(3m^2+4)y^2-6√3my-3=0,
△=108m^2+12(3m^2+4)=48(3m^2+1),
|AB|=√[△(1+m^2)]/(3m^2+4),
O到AB的距离h=√3/√(1+m^2),
∴S△AOB=(1/2)|AB|*h=2√[3(3m^2+1)]/(3m^2+4),
设u=√(3m^2+1),则u>=1,
S=2√3/（u+3/u)<=1,当u=√3时取等号，
∴所求最大值=1.