Question

如图 四棱锥p-abcd中,pa⊥底面abcd,ab∥cd，ab ⊥ad ,ab=ad=cd/2

,pa=2,e,f是pc,pd的中点，求直线ac与平面abef所成角的正弦值

Answer 1

（1）取PD的中点K，连接MK、AK。
因AB⊥AD，CD⊥AD，则CD//AB
又MK//AB且MK=1/2CD（中位线）=AB（已知）
则ABMK为平行四边形，即有BM//AK
而AK属于平面PAD，则BM//平面PAD

（2）先进一步明确ABMK为矩形：
因PA⊥底面ABCD，AB属于底面，即有PA⊥AB
又AB⊥AD，PA交AD于平面PAD，则AB⊥平面PAD
而AK属于平面PAD，则AB⊥AK，所以平行四边形ABMK为矩形

再来看看平面ABMK与平面PBD的位置关系：
连接BK。在⊿PBD中，PB=BD（RT⊿PAB≌RT⊿DAB），K为PD中点，则BK⊥PD（三线合一）
在⊿PAD中，PA=AD，K为PD中点，则AK⊥PD（三线合一）
而AK交BK于平面ABMK，则PD⊥平面ABMK
注意到PD属于平面PBD，所以平面PBD⊥平面ABMK

然后确定MN：
因平面PBD⊥平面ABMK，且交线为BK
则在平面ABMK上，所有垂直于交线的直线都垂直于平面PBD
于是过M作BK的垂线交BK于L，交AK于N，则MN⊥平面PBD
因RT⊿MNK与RT⊿MBK相似，则确定NK=√2/2，即AN=√2/2
所以N在三角形PAD的边PD中线的中点

最后求线面角：
连接PL，由于MN⊥平面PBD，而PL属于平面PBD，则⊿PLM为RT⊿
于是PC与平面PBD所成角为∠MPL
在RT⊿PLM中，sin∠MPL=ML/PM
其中ML*BK=MK*BM（面积相等），则ML=√6/3
而PM=1/2PC=√3
即sin∠MPL=√2/3
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