Question

导数题。已知函数fx=e^x-ax-1(a∈R),其中e为自然对数底数。求证当n≥2,n∈N时，恒有1^n+4^n+7^n+…

已知函数fx=e^x-ax-1(a∈R),其中e为自然对数底数。求证当n≥2,n∈N时，恒有1^n+4^n+7^n+…+(3n-2)^n＜(e^(1/3)／(e-1))*(3n)^n （第一问求出当a≤1时，对于任意x≥0,恒有fx≥0)

Answer 1

这种题的思路都是那么几种，关键是构造。问题是我看不懂(e^(1/3)／(e-1))*(3n)^n ，因此我无法进行构造，希望你能表达清楚点，最好是发一张照片上来。
我把思路说说吧，一般是利用第一问或第二问的结论，由e^x>x+1，（其中x>0），然后取x=f(n)代入，得e^f(n)>f(n)+1，然后两边累加，运用等比求和或等差求和，复杂点的，就再放缩。
如该指蔽题，可得(e^x)^n>(x+1)^n，取x=3k-3，得[e^(3k-3)]^n>(3k-2)^n，即
e^(3nk)/e^(3n)>(3k-2)^n
显卖逗雀然e^(3nk)/e^3>e^(3nk)/e^(3n)>(3k-2)^n，然后得e^(3nk)/e^3>(3k-2)^n，然后由该不等式两边从k=1累加到k=n，便能得1^n+4^n+7^n+…+(3n-2)^n<∑e^(3nk)/e^3，（这个式子的求和便是考验技巧，但一定和等比或等差有关，可能要放缩）
因为看不懂你的题目，我上面中早这种构造不一定对。只是为了说明思路。
e^(3nk)=(e^3n)^k，
∑e^(3nk)=(e^3n)^1+(e^3n)^2+(e^3n)^3+...+(e^3n)^k=(e^3n)*[1-(e^3n)^k]/[1-(e^3n)]
然后在上式中取k=n，留给你思考了