Question

函数y=x+根号下1-x2的值域是多少？

x 的取值范围是-1到1， 设x=sina 所以根号下（1-x2）= cosa 则y=sina+cosa=根号2sin（a+45）
接下来该怎么做？答案是限定a的范围是-90≤a≤90,然后算出a+45的范围
可为什么可以将a的范围限定在-90~90？a的取值不是可以为任意实数吗？求高手解答

Answer 1

答：
y=x+√(1-x^2)，定义域满足：
1-x^2>=0
-1<=x<=1
设x=sint，-90°<=t<=90°，则：
y=sint+cost=√2sin(t+45°)
因为：-45°<=t+45°<=135°
所以：-√2/2<=sin(t+45°)<=1
所以：-1<=y<=√2
所以：值域为[-1,√2]

追问

麻烦再看一下我的问题好吗

追答

只要满足-1=0可以知道：
-1<=sina<=1
0<=cosa<=1
绘制简单的正弦和余弦曲线可以知道，取-90°<=a<=90°是最方便简单的，有利于后面的计算。

当然，你把a取为（270°，450°）也是完全可以的

追问

那如果把范围扩大了要怎么计算？麻烦能不能帮忙算一下

追答

不是随意取a的范围都可以的，必须同时满足：-1<=sina<=1同时0<=cosa<=1
取其它的范围都是相当于[-90°，90°]加上周期而已...没有这个计算的必要

追问

那如果是这样：x=sint t【-30，150】
那么y=sint+cost=√2sin(t+45°)
因为：15°<=t+45°<=195°
那取值不就变了么

追答

[-30，150]你能保证cosa>=0吗？显然不可以
-1<=sina<=1
0<=cosa<=1

上面两个条件必须同时满足....

追问

那如果是这样：x=sint t【0，180】 cos的范围是 -1<=cosa<=1（按您说的是错误的）
那么y=sint+cost=√2sin(t+45°)
因为：45°<=t+45°<=225°
为什么还与正确答案相同。。。。。这个是属于巧合吗？

追答

对的....

Answer 2

因为在a属于－90到90之间时，sina可以取到－1到1的一切值，你设定其他范围也可以，只不过这样简明

追问

如果设定为其他范围乃至R，那该如何计算，能不能帮忙讲下

Answer 3

a的范围是-90≤a≤90 方便根号下（1-x2）= cosa
这样 cosa 为正值直接开根号不用分类讨论

追问

为什么可以这样设？那范围不是悲改变了吗？

追答

没有被改变根号下1-x²，-1≤x≤1，当 设x=sina ，x的范围仍是-1≤x≤1

Answer 4

√（1－x^2)
1－x^2>=0
-1<x<=1
√（1－x^2)值域[0,1]
y=x+根号下1-x2的值域:[-1,2]
这样可以么？

追问

麻烦再看一下我的问题好吗

Answer 5

∵x²-x+1=(x-1/2)²+3/4≥3/4
∴√(x²-x+1)≥√3/2
∴0<2/√(x²-x+1)≤4/√3=4√3/3
∴-4√3/3≤-2/√(x²-x+1)<0
∴函数y=-2/√(x²-x+1)的值域是
[-4√3/3,0)