Question

设f(x)在[0,1]上可导，且f(0)＝1,f(1)＝0. 证明：至少存在一点η∈（0，1），使

Answer 1

令f(x)=f(x)sinx，则f(x)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导，且f(0)=f(π)=0，由罗尔定理，设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，那么至少存在一点ξ∈(0,π)，使得f'(ξ)=0。所以：存在一点ε∈(0，π），使得f'(ε)=0，即f'（ε）sinε+f(ε)cosε=0