Question

已知，如图，rt△abc中，∠bac=90°，ab=ac，p为延长线上任一点，过b，c两点分别作直

已知，如图，rt△abc中，∠bac=90°，ab=ac，p为延长线上任一点，过b，c两点分别作直线ap的垂线be，cf，e，f分别为垂足。 （1）求证:be+cf=ef （2）若p为线段bc上任意一点，其他条件不变，试问:线段be，cf，ef的长度之间是否存在某种确定的数量关系?请画出图形，并证明你的结论。

Answer 1

图形请你自己画吧（我也是荆楚的，竞赛班的题对吧，哈哈~）
证明： （1） 由过B、C两点分别作直线AP的垂线BE、CF，E、F分别为垂足可知：∠BEA＝∠AFC＝90°
∵ ∠BAC＝90°
∴ ∠CAF+∠EAB ＝180°－∠BAC ＝180°－90°＝90°
又在直角三角形AEB中 ∠EBA+∠EAB＝180°－∠BEA＝90°
∴ ∠CAF＝∠EBA
在△EBA 和 △ACF中，AB＝AC（已知），∠BEA＝∠AFC＝90°，∠CAF＝∠EBA
∴ △EBA ≌ △ACF
∴　BE = AF，EA＝CF
∴ BE+CF＝EA+AF ＝EF
（2） 若P点靠近B点，有CF－BE＝EF；若P点靠近C点，有BE－CF＝EF
现证明如下：由过B、C两点分别作直线AP的垂线BE、CF，E、F分别为垂足知，∠BEA＝∠AFC＝90°
∵ ∠BAC＝90°
. ∴ ∠BAE + ∠FAC＝90°
又 在直角三角形ABE中，∠EBA+∠BAE＝90°
∴ ∠EBA ＝ ∠FAC
在△EBA和△AFC中，AB＝AC，∠BEA＝∠AFC＝90°，∠EBA ＝ ∠FAC
∴ △EBA　≌　△AFC
∴ AE＝CF，AF＝BE
∴ CF－BE ＝ AE －AF =　EF
同理可证　BE－CF＝EF，自己写吧~~相信你没有那么垃圾

追问

是的嘿嘿

Answer 2

角CAF+ACF=90,角CAF+角BAE=90，角BAE+角ABE=90
所以
角CAF=ABE
AB=AC
角ACF=BAEBE+CF=EF
所以三角形CAF全等三角形ABE（ASA）
AF=BE，AE=CF
所以BE+CF=AF+AE=EF

追问

还有呢

追答

还有什么？