Question

在四棱锥A-BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=√2

（1）证明DE⊥平面ACD
（2）求二面角B-AD-E的大小

Answer 1

1.平面ABC垂直于BCDE，DB垂直于BC，所以DB垂直于平面ABC,所以AC垂直于BD，又因为AC垂直于BC(勾股定理),所以AC垂直于平面BCDE,所以AC垂直于ED,又因为ED垂直于CD,所以ED垂直于平面ACD。
2.在D点建立空间直角坐标系，算出平面BAD法向量(根2，负根2，2),ADE法向量（0，根2，负2），算出夹角为30度。
全部手打，自己写的

Answer 2

（ⅰ）如图所示，取dc的中点f，连接bf，则df=
1
2
dc=1=be，
∵∠cde=∠bed=90°，∴be∥df，
∴四边形bedf是矩形，
∴bf⊥dc，bf=ed=1，
在rt△bcf中，bc=
bf2+cf2
=
12+12
＝
2
．
在△acb中，∵ab=2，bc=ac=
2
，
∴bc2+ac2=ab2，
∴ac⊥bc，
又平面abc⊥平面bcde，∴ac⊥平面bcde．
（ⅱ）过点e作em⊥cb交cb的延长线于点m，连接am．
又平面abc⊥平面bcde，∴em⊥平面acb．
∴∠eam是直线ae与平面abc所成的角．
在rt△bem中，eb=1，∠ebm=45°．
∴em=
2
2
=mb．
在rt△acm中，am＝
cm2+ac2
=
(
2
+
2
2
)2+(
2
)2
=
26
2
．
在rt△aem中，tan∠eam＝
em
am
=
2
2
26
2
=
13
13
．

Answer 3

（1）求证：AE⊥BD
(2)求二面角B-AD-C的余弦值
作AH⊥BC,垂足H,连结DH,交CE于F,
∵AB=AC,
∴△ABC是等腰△,
∵H是BC的中点,
∵平面ABC⊥平面BCDE,
∴AH⊥平面BCDE,
∵CE∈平面BCDE,
∴AH⊥CE,
在平面ABCD上,
CH=BC/2=1,
BE=CD=√2,
∴CH/BE=√2/2,
CD/BC=√2/2,
∴CH/BE=CD/BC=√2/2,,
<DCH=<CBE=90°,
∴RT△HCD∽RT△EBC,
∴<HDC=<BCE,
∵<CHD+<HDC=90°,
∴<HCE+<CHD=90°,
∴<HFC=90°,
∴HD⊥CE,
∵HD∩AH=H,
∴CE⊥平面ADH,
∵AD∈平面ADH,
∴AD⊥CE.

Answer 4

（1）求证：AE⊥BD
(2)求二面角B-AD-C的余弦值
作AH⊥BC,垂足H,连结DH,交CE于F,
∵AB=AC,
∴△ABC是等腰△,
∵H是BC的中点,
∵平面ABC⊥平面BCDE,
∴AH⊥平面BCDE,
∵CE∈平面BCDE,
∴AH⊥CE,
在平面ABCD上,
CH=BC/2=1,
BE=CD=√2,
∴CH/BE=√2/2,
CD/BC=√2/2,
∴CH/BE=CD/BC=√2/2,,
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