Question

二阶线性递归数列A(n+2)=c1A(n+1)+c2An

若特征方程两根并非实根(即无实根)，是否一定为周期数列?

Answer 1

不一定:
1.构造一个特征方程
x^2-2x+4=0
的两根
x1=1+√3i，x2=1-√3i，使
an=(1+√3i)^n+(1-√3i)^n=2^(n+1)*cos(nπ/3)
则an不是周期数列
2.构造一个特征方程
x^2-x+1=0
的两根
x1=(1+√3i)/2，x2=(1-√3i)/2，使
an=[(1+√3i)/2]^n+[(1-√3i)/2]^n=2cos(nπ/3)
则an是周期数列
3.周期数列的条件:c1,c2∈R，x1,x2互为共轭复数，|x1|=|x2|=1，x1的幅角为π的有理数倍。可以推导验证一下。