若a，b，c均为正数，求证：a³+b³+c³≥3abc 【求详细解答步骤。谢谢】
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a3+b3+c3
=a³+b³+c³-3abc+3abc
=a³+3a²b+3ab²+b³+c³-3a²b-3ab²-3abc+3abc
=(a+b)³+c³-3a²b-3ab²-3abc+3abc
=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-bc+c²)-3ab(a+b+c)+3abc
=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-bc+c²-3ab)+3abc
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc) +3abc
∵a.b.c为正数
∴a³+b³+c³≥3abc
=a³+b³+c³-3abc+3abc
=a³+3a²b+3ab²+b³+c³-3a²b-3ab²-3abc+3abc
=(a+b)³+c³-3a²b-3ab²-3abc+3abc
=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-bc+c²)-3ab(a+b+c)+3abc
=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-bc+c²-3ab)+3abc
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc) +3abc
∵a.b.c为正数
∴a³+b³+c³≥3abc
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