Question

如图所示，长方形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF=EC，且EF⊥EC，DE=2cm，长方形ABCD的周长为16cm

如图所示，长方形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF=EC，且EF⊥EC，DE=2cm，长方形ABCD的周长为16cm，（1）求证：△AEF≌△DCE；（2）求AE及CF的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是长方形， ∴∠A=∠B=90°， ∵EF⊥EC， ∴∠FEC=90°， ∴∠AFE+∠AEF=90°，∠AEF+∠DEC=90°， ∴∠AFE=∠DEC， 在△AEF和△DCE中 ∠A=∠D ∠AFE=∠DEC EF=EC ， ∴△AEF≌△DCE（AAS）． （2）∵长方形ABCD的周长为16cm， ∴AD=BC，AB=CD， ∴2AD+2AB=16cm， AD+AB=AD+CD=8cm， ∵DE=2cm，△AEF≌△DCE， ∴AF=DE=2cm，AE=CD=AB， ∴AD+AB=AE+DE+AB=AB+2cm+AB=8cm， ∴AB=3cm=CD=AE， 在Rt△DEC中，由勾股定理得：CE= 2 2 + 3 2 = 13 =EF， 在Rt△FEC中，由勾股定理得：CF= ( 13 ) 2 +( 13 ) 2 = 26 （cm）， 即AE=3cm，CF= 26 cm．