Question

数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题，1+2+3+…+10=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n

数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题，1+2+3+…+10=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n= 1 2 n（n+1），其中n为正整数，现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？观察下面三个特殊的等式：1×2=n（1×2×3-0×1×2）2×3=x（2×3×4-1×2×3）3×4=n（3×4×5-2×3×4）将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=m×3×4×5=20．读完这段材料，请你计算：（1）1×2+2×3+…+100×101=______；（直接写出结果）（2）1×2+2×3+…+n（n+1）；（写出计算过程）（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=______．

Answer 1

（1）∵1×2+2×3+3×4=m×3×4×5= 1 3 ×4×5=20， ∴1×2+2×3+…+100×101= 1 3 ×100×101×102=343400； （2）∵1×2=n（1×2×3-0×1×2）= 1 3 （1×2×3-0×1×2）， 2×3=x（2×3×4-1×2×3）= 1 3 （2×3×4-1×2×3）， 3×4=n（3×4×5-2×3×4）= 1 3 （3×4×5-2×3×4）， … n（n+1）= 1 3 [n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]， ∴1×2+2×3+…+n（n+1）= 1 3 [1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]， = 1 3 n（n+1）（n+2）； （3）根据（2）的计算方法，1×2×3=n（1×2×3×4-0×1×2×3）= 1 4 （1×2×3×4-0×1×2×3）， 2×3×4=x（2×3×4×5-1×2×3×4）= 1 4 （2×3×4×5-1×2×3×4）， … n（n+1）（n+2）= 1 4 [n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]， ∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）= 1 4 （1×2×3×4-0×1×2×3+2×3×4×5-1×2×3×4+…+n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]， = 1 4 n（n+1）（n+2）（n+3）． 故答案为：（1）343400；（2） 1 3 n（n+1）（n+2）；（3） 1 4 n（n+1）（n+2）（n+3）．